Ejemplo de regla normal y tangente

Ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función derivable:

Conociendo de una recta un punto cualquiera A (x0,y0) y su pendiente m, la ecuación punto-pendiente es: y - y0 = m ( x - x0 )

Si el punto está en la gráfica de una función entonces es A(a,f(a)).
Ya sabemos que la recta tangente tiene como pendiente la derivada en a, es decir f'(a). Así la ecuación de la recta tangente es:
La recta normal es perpendicular a la anterior, y las rectas perpendiculares tienen pendiente inverso-opuesta, es decir, -1/f'(a). Así la ecuación de la recta normal es:
En la siguiente escena aparece la gráfica de una función, un punto de la misma A(a,f(a)), las rectas tangente (en verde) y normal (en morado) y una recta amarilla que puedes editar escribiendo en su ecuación, que aparece en la parte inferior. Observa que en la escena ya aparecen calculadas las pendientes de las dos rectas. Por ahora, deja el control dificultad en 0.

Maximos y Minimos Criterio de la Primera Derivada

Los puntos criticos permiten determinar los valores máximos o valores mínimos que alcanza la función. El punto crítico que se encuentra en el intervalo de una concavidad que abre hacia abajo permite determinar el valor máximo que alcanza la función y el que se encuentra en una concavidad que abre hacia arriba, al mínimo que alcanza la función.

Estos puntos tambien son llamados puntos locales o relativos, puesto que sólo son valores extremos para un intervalo dado, de tal manera que se habla de un máximo local o máximo relativo y de un mínimo local o mínimo relativo.Al revisar una curva, puede notarse que en el entorno del punto crítico, las pendientes de las lineas tangentes cambian de valor al desplazarse de izquierda a derecha. En un valor máximo local, la pendiente de la tangente cambia de positiva a negativa; por ello se dice que en un valor máximo local las pendientes van de más a menos: (+) a (-).En cambio, un valor mínimo local, la pendiente cambia de negativa a posiiva; en este caso se dice que en un valor mínimo local las pendientes pasan de menos a más: (-) a (+).

Punto de Inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

1. Se halla la primera derivada de
2. Se halla la segunda derivada de
3. Se halla la tercera derivada de
4. Se iguala la segunda derivada a 0:
5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: .
6. Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable dependiente en la función.
7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada :
   1. Si , se tiene un punto de inflexión en .
   2. Si , debemos sustituir en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
      1. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
      2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

La Derivada

En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia a medida que su entrada cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una cantidad en un punto dado; por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.

La derivada de una función en un valor de entrada dado describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.

El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inverso de la integración en funciones continuas.

Supongamos que tenemos una función y la llamamos . La derivada de es otra función que llamaremos .

representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto .

En términos geométricos, esta pendiente es "la inclinación" de la línea recta que pasa justo por encima del punto y que es tangente a la gráfica de .

Al identificar dos puntos muy cercanos en la gráfica y al unirlos mediante una línea recta, una pendiente queda visualizada. Cuanto más cercanos sean los dos puntos que se unen por medio de la recta, la recta se parece más a una recta tangente a la gráfica y su pendiente se parece más a la pendiente de una recta tangente.

Notamos que esta pendiente coincide con la rapidez con que aumenta el valor de la función en cada punto. Dicho de otra manera, si la pendiente en un punto es muy grande, entonces el valor de la función en ese punto crece muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces el valor de la función crece muy despacio en ese punto.

Es decir, tanto la pendiente de la recta tangente como la rapidez de crecimiento en un punto de una función está dado por .

Lamentablemente no todas las funciones poseen derivada, desde el punto de vista geométrico esto se puede deber a varias cosas: por ejemplo hay funciones donde se da el caso de que por un mismo punto pasan muchas rectas tangentes(por ejemplo la función valor absoluto en el punto 0) y no es posible definir de manera única la pendiente a la recta tangente; también se da el caso de que no se puede definir la pendiente a una recta tangente en una función que no es continua; incluso hay funciones donde cualquier recta que pase por uno de sus puntos interseca en una infinidad de puntos muy cercanos y por tanto no hay recta tangente.

Las funciones que poseen derivada se llaman diferenciables.

Conocer la derivada de una función diferenciable por lo general resulta una tarea sencilla utilizando las técnicas de derivación desarrolladas por Gottfried Leibniz e Isaac Newton, las cuales permiten conocer las derivadas de muchas de las funciones de interés frecuente o bien, simplificar el trabajo para encontrar derivadas menos comunes.

Leibniz

Gottfried Wilhelm von Leibniz^[1] (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán. Descubrió el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se emplea desde entonces. También descubrió el sistema binario, fundamento de virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras actuales.

Aunque la noción matemática de función estaba implícita en la trigonometría y las tablas logarítmicas, las cuales ya existían en sus tiempos, Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en emplearlas explícitamente para denotar alguno de los varios conceptos geométricos derivados de una curva, tales como abscisa, ordenada, tangente, cuerda y perpendicular.^[9] En el siglo XVIII, el concepto de "función" perdió estas asociaciones meramente geométricas.

Leibniz fue el primero en ver que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podían ser organizados en un arreglo, ahora conocido como matriz, el cual podía ser manipulado para encontrar la solución del sistema, si la hubiera. Este método fue conocido más tarde como "Eliminación Gaussiana". Leibniz también hizo aportes en el campo del álgebra Booleana y la lógica simbólica.

Cauchy

Augustin Louis Cauchy (París, 21 de agosto de 1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857) matemático francés.

Cauchy fue pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones, contribuyendo de manera medular a su desarrollo. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.

En 1814 publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas.

Cauchy precisa los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual o casi actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin tangente. Cauchy consideraba que las funciones en 3 dimensiones que eran derivables eran continuas sin embargo se descubrió que era necesaria una condición de diferenciabilidad para asegurar la continuidad.

La Derivada Aportaciones

Joseph Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange (25 de enero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813 en París) fue un matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Prusia y Francia.

El mayor número de sus artículos de álgebra los envió a la Academia de Berlín. Cabe destacar:

• Su discusión de la solución enteras de las formas cuadráticas, 1769, y generalmente de ecuaciones indeterminadas, 1770.
• Su tratado de la teoría de eliminación de parámetros, 1770.
• Sus papeles en el proceso general por resolver una ecuación algebraica de cualquier grado, 1770 y 1771; este método falla para las ecuaciones de un orden superior al cuarto, porque involucra la solución de una ecuación de orden superior, pero da todas las soluciones de sus predecesores.
• La solución completa de una ecuación binomial de cualquier grado, esta ocupa el último lugar en los papeles mencionados.
• Por último, en 1773, su tratamiento de determinantes de segundo y tercer orden, y de sus invariantes